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申请/专利权人：江西财经大学

摘要：本发明提出一种基于Tucker分解因子矩阵低秩的张量完备方法与系统，该方法基于Tucker分解，对Tucker分解中因子矩阵水平垂直方向的梯度用核范数作低秩约束，核张量作Frobenius范数约束，建构张量完备模型，在张量完备模型中引入辅助变量，并建立增广拉格朗日函数对张量完备模型进行约束优化，得到有约束优化模型，将缺失数据以及缺失区域掩码张量进行张量化存储，得到含有缺失值的张量和缺失区域掩码张量，将缺失值的张量和缺失区域掩码张量输入约束优化模型中，通过ADMM算法框架对各个子问题进行迭代求解，得到完备后的张量。本发明不仅克服了传统Tucker分解中Tucker秩选择的难题，而且通过在张量因子空间中刻画数据的低秩和光滑性，实现了对张量数据更为精确和高效的恢复。

主权项：1.一种基于Tucker分解因子矩阵低秩的张量完备方法，其特征在于，所述方法包括如下步骤：步骤1、基于Tucker分解，对Tucker分解中因子矩阵水平垂直方向的梯度用核范数作低秩约束，核张量作Frobenius范数约束，建构张量完备模型；步骤2、在张量完备模型中引入辅助变量，基于拉格朗日乘子建立增广拉格朗日函数对张量完备模型进行约束优化，得到有约束优化模型；步骤3、获取缺失数据图像，并归一化，根据缺失数据图像中缺失的数据创建对应的掩码，将缺失数据图像以及掩码进行张量化存储，得到含有缺失值的张量和缺失区域掩码张量；步骤4、将缺失值的张量和缺失区域掩码张量输入约束优化模型中，将核张量、因子矩阵、辅助变量和输出目标张量分别作为子问题，通过ADMM算法框架对各个子问题进行迭代求解，得到完备后的张量；在所述步骤4中，辅助变量包括第一辅助变量和第二辅助变量，通过ADMM算法框架对第一辅助变量的子问题进行迭代求解的过程具体包括如下步骤：第一辅助变量包括两个子问题，通过固定核张量、因子矩阵、第二辅助变量和输出目标张量构建第一辅助变量的两个子问题的目标函数，第一辅助变量的两个子问题的目标函数分别存在如下关系式： ； ；基于奇异值阈值算法，构建第一辅助变量的两个子问题的解的求解关系式，第一辅助变量的两个子问题的解分别存在如下关系式： ； ；其中，表示输入参数为的奇异值阈值算法；通过更新惩罚参数、正则参数和对应的拉格朗日乘子对第一辅助变量的两个子问题进行迭代求解；通过ADMM算法框架对输出目标张量的子问题进行迭代求解的过程具体包括如下步骤：通过固定核张量、因子矩阵、第一辅助变量和第二辅助变量构建输出目标张量的子问题的目标函数，输出目标张量的子问题的目标函数存在如下关系式： ；输出目标张量的子问题的解存在如下关系式： ；其中，表示投影算子，表示缺失区域掩码张量的补集的投影算子，表示缺失区域掩码张量的补集；通过更新惩罚参数和对应的拉格朗日乘子对输出目标张量进行迭代求解；通过ADMM算法框架对因子矩阵的子问题进行迭代求解的过程具体包括如下步骤：通过固定核张量、第一辅助变量、第二辅助变量和输出目标张量构建因子矩阵的子问题的目标函数，因子矩阵的子问题的目标函数存在如下关系式： ；已知引理；其中，表示Kronecker积，，表示不包含第n个因子矩阵的其他所有因子矩阵的Kronecker积，表示将张量Y沿第n个维度展开为矩阵，分别表示N模积操作，第N个因子矩阵，分别表示1到N之间任意一个数，因子矩阵的最大数量；因子矩阵的子问题的解存在如下关系式： ；其中，表示的替代符，和表示分别核张量、按照第个维度展开为矩阵；通过更新惩罚参数和对应的拉格朗日乘子对因子矩阵进行迭代求解；通过ADMM算法框架对第二辅助变量的子问题进行迭代求解的过程具体包括如下步骤：通过固定核张量、因子矩阵、第一辅助变量和输出目标张量构建第二辅助变量的子问题的目标函数，第二辅助变量的子问题的目标函数存在如下关系式： ；通过计算得出： ；其中，表示的转置运算符；将表示为，第二辅助变量的闭式解存在如下关系式： ；其中,表示逐元素平方操作，表示逐元素除法，和分别表示傅里叶变换及其逆变换；通过更新惩罚参数和对应的拉格朗日乘子对第二辅助变量进行迭代求解；通过ADMM算法框架对核张量的子问题进行迭代求解的过程具体包括如下步骤：通过固定因子矩阵、第一辅助变量、第二辅助变量和输出目标张量构建核张量的子问题的目标函数，核张量的子问题的目标函数存在如下关系式： ；根据Kronecker积的性质，通过矩阵矢量化将张量积乘法转换为向量化形式，从而将对核张量的子问题进行迭代求解的目标函数写为最小二乘问题，对应的关系式如下： ；可以得到： ；其中，表示核张量的子问题的向量形式，表示单位矩阵；核张量的子问题的解是，表示将一个矩阵或张量的列堆叠成一个单一的列向量的操作，是的逆操作；通过更新正则参数、惩罚参数和对应的拉格朗日乘子对核张量进行迭代求解。

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