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申请/专利权人：北京工业大学

摘要：本发明提出一种基于张量型加权Schatten‑p范数的交通数据修复方法。该方法首次将加权Schatten‑p范数引入交通数据修复的问题中，其形式更接近于张量秩函数的形式，更确切地说是加权核范数和张量秩函数之间的一种平衡，可以更好地挖掘数据之间的各向异性；其次，提出一种全新的权重向量构造方法，可以极大限度地保证奇异值之间的大小关系，保证数据的主成分不被破坏；最后，通过引入广义奇异值软阈值算法和ADMM算法，成功求解优化问题的全局最优解。本发明进一步优化低秩结构，确保结果的低秩性以及对权重向量进行重构，保证各个奇异值在原数据中所起的作用，最终提升数据修复效果。

主权项：1.基于张量型加权Schatten-p范数的交通数据修复方法，其特征在于：将交通数据表示成三阶张量即空间位置×天数×时间段的形式，采用张量型加权Schatten-p范数p次方的形式，其数学描述如下： 具体地表示成矩阵奇异值的形式： 其中，表示矩阵的加权Schatten-p范数，下标sp即为Schatten-p的英文缩写；参数p为指数，且满足0＜p≤1；分别为目标低秩三阶张量和原始观测三阶张量，n1，n2，n3分别为X和Y各个维度的大小；Ω为Y中观测值的索引；s.t是英文subjectto的缩写，后跟约束条件；XΩ＝YΩ表示X中包含在Ω中索引位置的值与Y中对应索引位置的值相等；[X]d为张量X沿其d模态的展开矩阵，具体地，[X]1表示张量X的第1模态展开矩阵，维度大小为n1×n2n3，[X]2表示张量X的第2模态展开矩阵，维度大小为n2×n1n3，[X]3表示张量X的第3模态展开矩阵，维度大小为n3×n1n2；表示矩阵[X]d的奇异值，而rd为矩阵[X]d奇异值的个数；wd为d模态展开矩阵[X]d所对应的权重向量，其计算方法见式5，且向量长度为对应矩阵奇异值的个数即rd；引入三个辅助张量则最终张量型加权Schatten-p范数的交通数据修复方法的数学描述如下： 其中，Zd∈{Z1，Z2，Z3}，d＝1，2，3，Z1，Z2，Z3的展开矩阵[Z1]1，[Z2]2，[Z3]3分别代替[X]1，[X]2，[X]3进行变量的迭代更新，迭代更新的过程相互独立互不干扰；具体步骤如下：步骤一：数据预处理及权重向量构造输入为三阶张量形式的交通数据，首先将交通数据表示成三阶张量即空间位置×天数×时间段的形式，原始张量数据记为n1，n2，n3分别为Y各个维度的大小，而Y中观测值的索引集合记为Ω；原始张量中缺失的元素均采用已有观测值的均值进行填充，填充之后的张量记为的d模态展开矩阵的奇异值分解过程表示为其中，U和V分别为奇异值分解之后的特征矩阵，diag·表示对角矩阵，表示矩阵的奇异值，rd为矩阵奇异值个数；则式4中的权重向量wd定义为： 其中，nd为张量第d维度的大小，nj为张量第j维度的大小；[wd]i表示权重向量wd中的第i个元素；σi表示矩阵的第i个奇异值；e为一个很小的数，防止分母为零导致计算错误，取e＝10-6；由式5知权重向量wd中的元素满足与对应展开矩阵奇异值的大小成反比；步骤二：迭代优化采用交替方向乘子法，对式4中的优化问题进行求解，即将变量和参数分为多组，更新其中一组变量或参数时，其余各组保持不变；其中包括Zd的子问题、X的子问题以及参数的更新；式4的增广拉格朗日函数表达式如下： 其中，为对应于式4中四个等式约束的拉格朗日乘子，其维度大小与张量X一致；ρ为惩罚参数，取ρ＝10-4；·，·表示内积运算，即两个矩阵或张量对应元素相乘的和；||·||F表示张量或矩阵的弗罗贝尼乌斯范数，即F范数；1、更新ZdZd的子问题为典型的加权Schatten-p范数的最小优化问题，表示为： 记矩阵则式7进一步描述为： 引入GST算法，将式8进一步化简；具体如下：设矩阵M的奇异值分解过程为M＝U·∑·VT，且权重向量wd满足非降序排列，即时，则式8的解表示为[Zd]d＝U·Δ·VT；其中表示以为对角元素的对角阵，为矩阵M的奇异值；表示以为对角元素的对角阵，为张量Zd的d模态展开矩阵[Zd]d的奇异值；U和V为矩阵M奇异值分解之后的特征矩阵；由此，式8中的问题描述转化为： 将式9拆分为rd个独立相同的子问题： 则式10的解表示为： 其中，Ti为式10的软阈值，其表达式如下： 而通过以下式子求解： 2、更新XX的子问题表示如下： 则式14的闭合解为： 其中，i，j，k表示张量X中元素的索引；[X]ijk，[Zd]ijk，[Ad]ijk分别表示张量X，Zd，Ad中索引为i，j，k的元素值；3、更新参数式6中的参数主要包括拉格朗日乘子以及惩罚参数，其更新规则如下： 其中，ρmax为乘法参数的最大值，θ为惩罚参数更新系数，两个参数分别设置为ρmax＝104，θ＝1.05；4、判断收敛条件将收敛条件设置如下： 其中，上标k与k-1表示迭代次数；||·||F表示张量的F范数；若当前迭代满足上述条件则停止迭代，否则继续上述步骤1-3，直到满足收敛条件或达到最大迭代次数为止，其中最大迭代次数设置为200；步骤三：导出目标张量算法迭代完成之后，便直接导出目标张量X，然其仍不是最合适的结果；设最终的结果张量为其中原数据中未缺失的部分仍然采用原数据，而缺失的部分采用X对应部分的值进行填充，即： 其中，[X]ijk，[Y]ijk表示张量X，Y中索引为i，j，k的元素值。

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