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申请/专利权人：招商局重庆交通科研设计院有限公司;重庆大学

摘要：本发明涉及移动车桥耦合系统动力响应分析技术领域，且公开了一种考虑梁任意边界条件下的车桥耦合动力响应分析方法，包括以下步骤：步骤一，进行桥梁响应分析；步骤二，进行车辆响应分析；步骤三，通过二分法对步骤一、步骤二中任意边界条件下的特征值和特征向量进行求解；步骤四，采用有限元法对上述步骤得到的解进行数值验证。本发明采用上述考虑梁任意边界条件下的车桥耦合动力响应分析方法，通过在梁的两端布置平动和转动弹簧来模拟任意边界条件，推导出桥梁、车辆和接触点响应的闭式解；并利用任意边界条件，提出可求解超越方程的迭代算法，同时给出模态振型函数的系数，最后通过有限元法进行了数值验证。

主权项：1.一种考虑梁任意边界条件下的车桥耦合动力响应分析方法，其特征在于：包括以下步骤：步骤一，将车辆视为单自由度动力系统，利用平动和转动弹簧模拟桥梁的任意边界条件，随后建立任意边界条件下车桥耦合力学模型，进行桥梁响应分析；步骤二，进行车辆响应分析；步骤三，通过二分法对步骤一、步骤二中任意边界条件下的特征值和特征向量进行求解；步骤四，采用有限元法对上述步骤得到的解析解进行数值验证；步骤一：桥梁响应车辆视为单自由度动力系统，车辆的质量为mv，悬架系统弹簧刚度为kv，阻尼为cv；将桥梁模拟为具有任意边界条件的伯努利-欧拉梁，在梁的两端使用平动弹簧和转动弹簧模拟任意边界条件，梁右端的平动弹簧和转动弹簧分别定义为和左端的平动弹簧和转动弹簧分别定义为和梁长为L，单位长度质量为μ，弹性模量为E，惯性矩为I；假定外部阻尼ra和内部阻尼rb分别与梁的质量和刚度成正比，ra＝γμ、rb＝εEI，其中γ和ε是比例常数；建立具有任意边界条件的桥上移动车辆的力学模型，得到运动车辆和桥梁的运动方程，采用模态叠加法计算桥响应，推导封闭解；根据上述情况，运动车辆和梁相对于静态平衡位置的运动方程为 式中，ux,t表示梁的垂直位移、uct表示接触点位移、yvt表示车辆的垂直位移，圆点和质点分别表示相对于时间t和坐标x的微分，δ是Delta函数；公式2中的车辆-桥梁接触力fct为 其中g为重力加速度；为了推导封闭解，采用模态叠加法将桥梁响应近似为 其中，qnt为梁的第n个广义挠度，φnx为梁的第n个归一模态；对于任意边界条件，归一模态写成φnx＝A1nsinβnx+A2ncosβnx+A3nsinhβnx+A4ncoshβnx5其中A1n，A2n，A3n和A4n是未知常数，根据梁的边界条件确定；βn是频率参数；将公式4代入公式2，然后乘以φnx，并在0和L之间对x进行积分 考虑到正交条件 并且 由式6得出第n个广义坐标qn的微分方程： 其中ωn，ζn分别代表梁的固有频率和阻尼比，记为 假设车辆质量mv远小于桥梁质量μL，则一般接触力Fcnt表示为 将公式5代入公式8b，并进行积分，得出模态质量mn写成 其中λn＝βnL；对于零初始条件，qn0＝0和梁的第n个广义坐标qnt由式9求解为 其中，ωDn是阻尼梁的第n个固有频率； 如公式14所示，前四项为稳态项，后两项与瞬态项有关；稳态系数Qn1、Qn2、Qn3和Qn4分别写为 根据上述初始条件，瞬态系数用稳态系数表示为Q5n＝-Q1n+Q3n+Q4n17a 因此，将公式14代入公式4得到桥梁位移响应ux,t 其中，当j＝1时，αjn为0，Ejn.c为Q1n，ωjn为βnv，Ejn.s为Q2n；当j＝2时，αjn为βnv，Ejn.c为Q3n，ωjn为0，Ejn.s为任意常数；当j＝3时，αjn为-βnv，Ejn.c为Q4n，ωjn为0，Ejn.s为任意常数；当j＝4时，αjn为-ωnζn，Ejn.c为Q5n，ωjn为ωDn，Ejn.s为Q6n；对时间进行两次微分，得到桥梁加速度响应为 在公式18中，设x＝vt并使用三角函数公式，得出接触位移如下所示 其中 和ωjn.l＝ωjn-βnv,ωjn.r＝ωjn+βnv22a-bαjn.l＝αjn-βnv,αjn.r＝αjn+βnv22c-d公式20重写为 其中，当k＝1时，为αjn，为Djn.c.l，为ωjn.l，为Djn.s.l；当k＝2时，为αjn，为Djn.c.r，为ωjn.r，为Djn.s.r；当k＝3时，为αjn.l，为Bjn.c.l，为ωjn，为Bjn.s.l；当k＝4时，为αjn.r，为Bjn.c.r，为ωjn，为Bjn.s.r；通过对公式23进行两次时间微分，得出接触加速度响应为 步骤二：通过步骤一中运动车辆和桥梁的运动方程，求解车辆位移响应的闭合解，并得到车辆响应的稳态系数与瞬态系数；车辆响应如公式1所示，车辆的动力方程进一步表示为 车辆的外部负载Fvt为 其中，和uct分别表示接触速度和位移响应；接触速度响应通过对式23进行求导获得；在公式25中，ξv、ωv分别是车辆的阻尼比和固有频率，分别写为 将公式23、公式25及其一阶导数代入公式25，得出 其中 同样，车辆位移响应通过求解公式28得到，在零初始条件下，qn0＝0和 车辆响应包含两个部分，为稳态项和瞬态项；公式30中的稳态系数表示为 瞬态系数为 步骤三：通过步骤一中任意边界条件的桥上移动车辆的力学模型，得到四个边界条件，通过二分法实现固有频率的自动求解；任意边界条件的特征值和特征向量边界条件在x＝0处写为 而在x＝L时，为 据此，得到以下四个表达式 其中，将公式35写成矩阵形式 式36存在非零解，矩阵的行列式为零，得到任意边界条件下的超越频率方程，表示为[η1sinβnL+η2cosβnL]sinhβnL+[η3sinβnL+η4cosβnL]coshβnL+η5＝037其中 从公式5中看出，模态函数中包含了βn、A1n、A2n、A3n和A4n五个变量，其中频率参数通过公式37求得；利用公式35中的四个边界条件，并假设系数为A1n＝1，得到其他系数 其中系数aij,i＝2～4,j＝1～4，系数bj,j＝1～4的表达式为a21＝sinβnLα2-2α3-α2α3α4+cosβnLα3α4-2α2α4-1A3a22＝sinβnL1-2α2α3-α3α4+cosβnLα2α3α4-α2-2α4A4b1＝sinβnLα3α4-2α2α4-1+cosβnLα2α3α4-α2+2α3A7b2＝sinβnLα2α3α4-α2-2α4+cosβnL2α2α3+α3α4-1A8a31＝sinβnL2α2α4+α3α4-1+cosβnLα2+2α4-α2α3α4A11a32＝sinβnLα2+2α3-α2α3α4+cosβnL1-2α2α3-α3α4A12a41＝sinβnLα2α3α4-α2-2α3+cosβnL2α2α3+α3α4-1A15a42＝sinβnL1-2α2α4-α3α4+cosβnLα2α3α4-α2-2α4A16根据公式37和39的推导，关注固有频率参数的求解，采用二分法来自动实现固有频率的求解；定义了一个函数进行求解，其表达式为Θβn＝[η1sinβnL+η2cosβnL]sinhβnL+[η3sinβnL+η4cosβnL]coshβnL+η540二分法包括以下步骤：S1：确定频率间隔[fl,fu]、允许误差ε，其中fu和fl表示相关频率间隔的上限和下限；S2：将fu和fl代入公式38，计算系数上下限，其中j＝1～5，然后利用系数和得到函数值和S3：对和的乘积进行正负判别；如果则频率区间内没有满足公式40要求的解；如果则首先计算出平均频率参数为并代入公式40得到函数值然后判别如果则否则S4：计算更新频率区间的绝对值为|fu-fl|，并根据允许误差ε判别该值；如果|fu-fl|＜ε，则自然频率已确定，并表示为根据上述步骤，利用二分法得到具有任意边界条件的梁的固有频率参数βn；同时，模态振型系数A1n、A2n、A3n和A4n由公式38求得。

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