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申请/专利权人：青岛大学

摘要：本发明属于柔性机械臂位置跟踪控制技术领域，公开了一种针对具有未知扰动的柔性机械臂动力学系统的基于状态受限的柔性机械臂奇异摄动控制方法，该方法针对柔性机械臂出现的受到未知扰动干扰的控制精度低，关节位置跟踪在反步设计中推导复杂以及误差过大引起安全事故等问题，通过奇异摄动解耦简化柔性关节系统降低反步法推导复杂程度；利用log型障碍李雅普诺夫函数对慢子系统进行状态误差约束；引入指令滤波和模糊自适应解决反步设计中计算爆炸以及系统受非线性干扰影响的问题。本发明方法能够有效克服干扰降低控制精度的问题，有较好的位置跟踪效果，能保证慢子系统状态量在指定约束范围内。

主权项：1.基于状态受限的柔性机械臂奇异摄动控制方法，其特征在于，包括如下步骤：步骤1.建立考虑未知扰动的多关节柔性机械臂动力学系统数学模型，并根据双时间尺度的分析方法，在慢时间尺度与快时间尺度基础上进行系统分析，进而得到对应的慢子、快子解耦系统，具体过程如下：多关节柔性机械臂动力学系统数学模型如公式1和公式2所示； 其中，q∈Rn表示关节位置向量，表示关节速度向量，表示关节加速度向量；Mq∈Rn*n是正定惯性矩阵，为哥氏力和离心力矩阵，Gq∈Rn表示重力向量，K∈Rn*n是关节刚度系数对角矩阵，表示电机侧角向量；J∈Rn*n为关节电机转动惯量矩阵，u∈Rn是关节电机扭矩控制输入向量；λ1∈Rn表示连杆侧的模型误差，λ2∈Rn表示电机侧的模型误差，χ1∈Rn表示臂关节接收到的外界随机干扰，χ2∈Rn表示电机接收到的外界随机干扰；模型误差λ1、λ2以及外界随机干扰χ1、χ2均为有界项，且存在已知常量λ*和χ*，满足||λw||≤λ*，||χw||≤χ*，w＝1,2；令关节位置向量q和关节力矩分别作为慢子和快子变量，进行奇异摄动解耦，将柔性关节动力学系统解耦成低阶慢子系统和边界层快子系统，解耦过程如下：令K＝ε-2K1，其中，ε为一参数，K1为正定参数矩阵，设关节力矩Z为： 将公式3分别代入公式1和公式2，得到下述公式4和公式5； 其中，表示关节力矩Z的二阶导；进一步由公式4得到公式6： 将公式6代入公式5得到： 定义关节电机扭矩控制输入向量u为系统控制律，则u表示为快子系统输入uf和慢子系统输入us的组合，即u＝us+uf；令ε＝0并代入公式5，得到仅考虑慢时间尺度下的唯一解： 此处，u＝us即uf＝0，表示仅考虑慢尺度目标弹性力矩，其跟踪误差为将公式8代入公式4得到： 其中，λ＝λ1+λ2，χ＝χ1+χ2；分别表示仅考虑慢尺度下的目标关节位置、速度、加速度；将ε＝0代入公式7中得到： 假设在快时间尺度τ＝ε-1t中看作为常数，则用Zf来表示边界层快子系统；将代入公式5，此处，令ε为大于0且无限接近于0的数，则近似得到： 将公式10代入公式11得到： 综上得到柔性关节机械臂的慢、快子系统的数学模型表达式，如公式13和14所示： 步骤2.对解耦得到的快子和慢子系统分别进行控制设计；快子系统借由传统奇异摄动快子系统控制中的边界层原理直接进行设计；慢子系统采用反步法进行设计，构建了二阶滤波器和误差补偿信号用来解决反步设计中虚拟控制律的计算爆炸问题，通过选取障碍Lyapunov函数来对慢子系统状态方程进行反步推导，引入模糊逻辑系统来对未知非线性函数进行模糊逼近处理，最终得到慢子控制律，具体过程如下：设定二阶滤波器如下： 定义hj＝[hj1,...,hjn]T为二阶滤波器的输出，i＝1,...,n，j＝1,2；hj1,...,hjn表示hj第1,...,n个分量；定义l＝[l1,...,ln]T为二阶滤波器的输入，与gn表示滤波器参数，且gn＞0；h10＝l0，h20＝0；其中，h10、h20分别表示h1和h2的初值，l0表示l的初值；设o1,o2均为正常数，对于任意时刻，若|li|≤o1，且对于任意常数和gn满足gn＞0时，都存在|h1i-li|≤k1i，其中k1i为正常数，且以及均有界；定义误差补偿信号如下： 其中，ξj表示第j个误差补偿信号，ξj＝[ξj1,...,ξjn]T，ξj1,...,ξjn分别表示ξj的第1,...,n个分量；μj表示误差补偿信号的增益矩阵，μj＝diag[μj1,...,μjn]＞0，μj1,...,μjn分别表示μj的第1,...,n个分量，常数μji＞0；定义x1,c＝[x1,c1,...,x1,cn]为输入为α1＝[α11,...,α1n]T时的二阶滤波器输出；其中，α1表示反步设计中的虚拟控制律，α11,...,α1n表示α1的第1,...,n个分量；x1,c1,...,x1,cn表示x1,c的第1,...,n个分量；根据设定的二阶滤波器得知|x1,ci-α1i|≤k1i，常数k1i＞0，则有其中，μ0＝min{2μ1i-1,2μ2i-1}，即ξji有界；步骤2.1.设计快子控制律；设正定矩阵Kf和K2满足：Kf＝K2ε；K2＞0且其选择要保证快子系统稳定，令ε取大于0且无限接近于0的数，选取快子控制律uf为： 步骤2.2.设计慢子控制律；为建立慢子系统数学模型，设xj表示状态变量，xj＝[xj1,...,xjn]T，xj1,...,xjn表示的xj第1,...,n个分量，令状态变量x1为q，状态变量x2为定义xd为期望轨迹，xd＝[xd1,...,xdn]T，其中，xd1,...,xdn表示的xd第1,...,n个分量；xd与均是连续可导且光滑有界的，则公式13改写为： 其中，M＝Mx1，C＝Cx1,x2，G＝Gx1；定义跟踪误差变量、补偿误差分别如公式19和公式20所示： 其中，z1、z2均表示跟踪误差变量，v1、v2均表示补偿误差；z11,...,z1n分别表示z1的第1,...,n个分量；z21,...,z2n分别表示z2的第1,...,n个分量；v11,...,v1n分别表示v1的第1,...,n个分量；v21,...,v2n分别表示v2的第1,...,n个分量；定义紧集Ωv＝{|vji＜kbji|,j＝1,2；i＝1,2,...,n}；其中，kbj表示状态约束界限值，kbj＝[kbj1,...,kbjn]T，kbj1,...,kbjn表示kbj的第1,...,n个分量，kbji是正常数；选取障碍Lyapunov函数V1为： 设定kvj为：kvj＝[kvj1,...,kvjn]T；其中，kvj1,...,kvjn分别表示kvj的第1,...,n个分量，则对V1求导得： 将公式19和公式20代入公式22中得到： 将误差补偿信号即公式16以及慢子系统的数学模型即公式13代入公式23得到： 选取虚拟控制律α1与误差补偿信号导数如下述公式25和公式26所示： 将公式25和26代入公式24中得到： 选取障碍Lyapunov函数V2为： 对V2求导得： 选取误差补偿信号导数为： 令DI＝J+M-1，定义DIi是DI的第i行行向量，将公式30代入公式29得： 其中，f＝[f1,...,fn]T是未知非线性函数，引入模糊算子进行逼近；f1,...,fn是f的第1,...,n个分量；根据万能逼近定理，对于任意给定正常数η＞0，定义Q＝[x1,x2]T，存在模糊算子WTSQ，W＝[W1,...,Wn]T，SQ＝[S1,...,Sn]T，δQ＝[δ1,...,δn]T；其中，W表示权重向量矩阵；SQ表示基函数向量矩阵；δQ为模糊近似误差，Wi表示权重向量，Si表示基函数向量，δi表示模糊近似误差分量，i＝1,...,n，使得：f＝DI-Cx2-λ-χ＝WTSQ+δQ，且其满足||δQ||≤η，有如下公式成立： 其中，l表示正参数；Wi表示权重向量矩阵W的第i个权重向量；Si表示基函数向量矩阵S的第i个基函数向量；结合公式31和32得到： 定义θ为自适应变量，且θ满足：其中，是变量θ的估计值，是估计误差；设计慢子系统输入us为慢子控制律，如公式35所示； 其中，将慢子控制律us即公式35代入公式33得到： 取慢子总系统障碍Lyapunov函数为： 其中，r1表示正数；对V求导得到： 选取自适应律为： 其中，m1为正参数；至此基于状态受限的柔性机械臂奇异摄动控制设计完成；步骤3.选取快子、慢子系统的Lyapunov函数进行推导，进而证明对由步骤2设计的基于状态受限的柔性机械臂奇异摄动控制方法所控制的快子、慢子系统Lyapunov稳定，具体稳定性分析过程如下：步骤3.1.快子系统稳定性证明；将公式3代入公式17得到： 因为在快时间尺度中被假设为常数，则将代入公式40得到： 将公式41代入公式14得： 为验证快子系统的稳定性，选Lyapunov函数Vf1＝K12ε2[J-1+Mq-1]ZfTZf，根据柔性机械臂动力学模型得知，Mq、J均正定，则Vf1＞0；对Vf1求导得： 设得知Vf2＞0，对Vf2求导得： 将公式42代入公式44得： 因为K2、J均为正定矩阵，且ε＞0，故因此，快子系统稳定；步骤3.2.慢子系统稳定性证明；将公式39代入公式38中得到： 根据杨氏不等式，得到： 将公式47代入公式46得到： 因为且存在正数β对所有kbji和vji均满足得到： 式中，C1＝min{μ11,μ12,μ21,μ22,m1}，而与均是有界的，结合公式39得知必定有界，将49两边同乘得： 此时，将公式50在[0,t]内进行积分得到： 其中，V0表示V的初值；已知|vji|＜|kbji|，且由于vji＝zji-ξji得知|zji|≤|vji|+|ξji|≤|kbji|+|ξji|，得到zji有界；由于α1是z1和xd的函数，且|x1,ci-α1i|有界，则x1,ci有界，得知系统状态x1i和x2i也有界；根据公式51得到： 公式52的两边同时取指数得到又因为则若V0＝C2C1，则得出结论若V0≠C2C1，对于任何都存在T满足t＞T时即当t→∞，意味着保证了选取合适的参数μ1、μ2、kb1、kb2，使和都收敛到靠近原点的较小邻域内，进而验证z1足够小，则慢子系统稳定。

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百度查询： 青岛大学 基于状态受限的柔性机械臂奇异摄动控制方法